Question

已知橢圓E：的左頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，且圓C：過A，F₂兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當β-α=時，證明：點P在一定圓上．

Answer 1

（1）解：圓與x軸交點坐標為，，
故，所以b=3，∴橢圓方程是：．
（2）證明：設點P（x，y），因為F₁（-，0），F₂（，0），
設點P（x，y），則=tanβ=，=tanα=，
因為β-α=，所以tan（β-α）=-．
因為tan（β-α）==，
所以=-，化簡得x²+y²-2y=3．
所以點P在定圓x²+y²-2y=3上．
分析：（1）求出圓C與x軸交點坐標，即可確定橢圓E的方程；
（2）求出直線PF₂、PF₁的斜率，利用β-α=，結合兩角差的正切公式，即可證得結論．
點評：本題考查橢圓的方程，考查兩角差的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．