Question

【題目】已知雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為 ．
（1）求a，b；
（2）設過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知 =3，即 =9，故b2=8a2

所以C的方程為8x2﹣y2=8a2

將y=2代入上式，并求得x=± ，

由題設知，2 = ，解得a2=1

所以a=1，b=2

（2）解：由（1）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程為8x2﹣y2=8 ①

由題意，可設l的方程為y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化簡得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2= ， ，于是

|AF1|= =﹣（3x1+1），

|BF1|= =3x2+1，

|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即

故 = ，解得 ，從而 =﹣

由于|AF2|= =1﹣3x1，

|BF2|= =3x2﹣1，

故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16

因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數列

【解析】（1）由題設，可由離心率為3得到參數a，b的關系，將雙曲線的方程用參數a表示出來，再由直線 建立方程求出參數a即可得到雙曲線的方程；（2）由（1）的方程求出兩焦點坐標，設出直線l的方程設A（x11），B（x2 ， y2），將其與雙曲線C的方程聯立，得出x1+x2= ， ，再利用|AF1|=|BF1|建立關于A，B坐標的方程，得出兩點橫坐標的關系 ，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比數列的性質進行判斷即可證明出結論．