Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點F₁，F₂在x軸上，焦距為2，并且橢圓C上的點與焦點最短的距離是1。
（1）求橢圓C的離心率及標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，則k與m之間應該滿足怎樣的關系？
（3）在（2）的條件下，且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A，求證：直線l必過定點，并求出定點的坐標。

Answer 1

解：（1）∵2c=2，a-c=1，
∴c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為。
（2）由方程組得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由題意：Δ=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）>0，
整理得3+4k²-m²>0 ①；
 （3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
即
整理得7m²+16mk+4k²=0，
解得m=-2k或，均滿足①
當m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點（2，0），舍去；
當時，直線l的方程為，過定點
故直線l過定點，且定點的坐標為。