Question

【題目】在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,

即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.

如圖所示：

過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.

則為二面角的平面角的補角,即有.

∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形, ∴為的中點.

設, .

∴.

故三棱錐的體積為

當且僅當時,,即.

∴三點共線.

設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.

過點作于,∴四邊形為矩形.

則,,,

在中,,解得.

三棱錐的外接球的表面積為.

故答案為：．