Question

記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，則的取值范圍為(     )

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

試題分析：由題意可知不能為平角，那么則為鈍角時，數量積小于零。
由題設可知，以DA,DC,DD₁，單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由D₁B=(1，1，-1)，得D₁P==λ，D₁B=(λ，λ，-λ)，所以PA=PD₁+D₁A=(-λ，-λ，λ)+(1，0，-1)=(1-λ，-λ，λ-1),PC= =(-λ，-λ，λ)+(0，1，-1)=(-λ，1-λ，λ-1)
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC=cos＜PA,PC>=<0等價于
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得＜λ＜1因此，λ的取值范圍是(，1)，選B。
點評：解決該試題的關鍵是建立空間直角坐標系，表示出向量的坐標，運用向量的夾角公式得到參數的范圍。