Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，其中k＜﹣2．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D（用區(qū)間表示）；
（2）討論函數(shù)f（x）在D上的單調(diào)性；
（3）若k＜﹣6，求D上滿足條件f（x）＞f（1）的x的集合（用區(qū)間表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)t=x2+2x+k，則f（x）等價為y=g（t）= ，

要使函數(shù)有意義，則t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，

即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，

則（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，

∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，

由①解得x+1＞ 或x+1 ，即x＞ ﹣1或x ，

由②解得﹣ ＜x+1＜ ，即﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ ，

綜上函數(shù)的定義域為（ ﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣ ）∪（﹣1﹣ ，﹣1+ ）

（2）解：f′（x）= =

=﹣ ，

由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，則（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+1）＜0

解得x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，結(jié)合定義域知，x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣1+ ），

同理解得單調(diào)遞減區(qū)間為：（﹣1﹣ ，﹣1），（﹣1+ ，+∞）

（3）解：由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，

則[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，

∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0

即（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+3）（x﹣1）=0，

∴x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ 或x=﹣3或x=1，

∵k＜﹣6，

∴1∈（﹣1，﹣1+ ），﹣3∈（﹣1﹣ ，﹣1），

∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣ ）=f（﹣1+ ），

且滿足﹣1﹣ ∈（﹣∞，﹣1﹣ ），﹣1+ ∈（﹣1+ ，+∞），

由（2）可知函數(shù)f（x）在上述四個區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增或遞減，結(jié)合圖象，要使f（x）＞

f（1）的集合為：

（ ）∪（﹣1﹣ ，﹣3）∪（1，﹣1+ ）∪（﹣1+ ，﹣1+ ）

【解析】（1）利用換元法，結(jié)合函數(shù)成立的條件，即可求出函數(shù)的定義域．（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到不等式的解集．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．