Question

（2013•中山一模）已知函數f(x)=

1

3

x3-ax+b，其中實數a，b是常數．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”發生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函數，g（a）是f（x）在區間[-1，1]上的最小值，求當|a|≥1時g（a）的解析式；
（Ⅲ）記y=f（x）的導函數為f′（x），則當a=1時，對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f′（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知可得基本事件的總數為9個；再分類討論得出事件A包含的基本事件的個數，利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（II）利用奇函數的性質f（0）=0即可得出b=0；利用導數即可得出函數f（x）的單調性，從而得出其最小值g（a）．
（III）利用導數和二次函數的單調性即可求出函數f（x）及f^′（x）在給出的區間上的值域，而對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂）?f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9個函數，即基本事件的總數為9個．
若f（1）≥0，得到

1

3

-a+b≥0，即a≤b+

1

3

：①當a=0時，b=0，1，2都滿足；②當a=1時，b=1，2滿足；③當a=2時，b=2滿足．
故滿足：“f（1）≥0”的事件A包括6個基本事件，故P（A）=

6

9

=

2

3

．
（II）∵f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=

1

3

x3-ax，f^′（x）=x²-a．
①當a≤-1時，f^′（x）≥0，∴函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，∴g（a）=f（-1）=-

1

3

+a；
②當a≥1時，∵x∈[-1，1]，∴f^′（x）=x²-a≤0，
∴函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，∴g（a）=f（1）=

1

3

-a．
（Ⅲ）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-x+b，∴f^′（x）=x²-1，當x∈（0，1]時，f^′（x）＜0；當x∈（1，2]時，f^′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上單調遞減；在（1，2）上單調遞增，即f(x)min=f(1)=-

2

3

+b．
又∵f（0）=b，f(2)=

2

3

+b＞f(0)，當x∈[0，2]時，f(x)∈[-

2

3

+b，

2

3

+b]．
而f^′（x）=x²-1在[0，2]上單調遞增，f'（x）∈[-1，3]，
且 對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂），
∴f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，即[-

2

3

+b，

2

3

+b]⊆[-1，3]．
∴-

2

3

+b≥-1且

2

3

+b≤3，解得-

1

3

≤b≤

7

3

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值、最值等性質，古典概型的概率計算公式，即等價轉化方法、分類討論方法．