Question

如圖，已知長方體的長寬都是4cm，高為2cm．
（1）求BC與A′C′，A′D與BC′所成角的余弦值；
（2）求AA′與BC，AA′與CC′所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據長方體的性質，可得∠A'C'B'就是異面直線BC與A′C′所成角，在Rt△A'B'C'中，利用三角函數的定義可得cos∠A'C'B'=

2

2

，即為BC與A′C′所成角的余弦值．同理可得直線B'C與BC'所成的角就是A′D與
BC′所成的角，結合余弦定理加以計算即可得到A′D與BC′所成角的余弦值；
（2）根據長方體的性質可得AA'∥BB'，因此矩形BB'C'C中，∠B'BC=90°就是AA′與BC所成的角；再由AA′∥CC′，得到AA′與CC′所成角為0°．

解答：解：（1）∵長方體ABCD-A'B'C'D'中，BC∥A′C′
∴∠A'C'B'就是異面直線BC與A′C′所成角
Rt△A'B'C'中，A′C′=

42+42

=4

2

∴cos∠A'C'B'=

B’C‘

A′C′

=

2

2

；
連結B'C，可得四邊形A'DCB'是平行四邊形，
∴A'D∥CB'，直線B'C與BC'所成的角就是A′D與BC′所成的角
矩形BB'C'C中，BC'=B'C=

42+22

=2

5

設A′D與BC′所成的角為θ，則由余弦定理得
cosθ=|

5+5-16

2× 5 × 5

|=

3

5

綜上所述，可得BC與A′C′，A′D與BC′所成角的余弦值分別為

2

2

和

3

5

；
（2）∵長方體ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'
∴∠B'BC（或其補角）就是AA′與BC所成的角
矩形BB'C'C中，可得∠B'BC=90°；
又∵AA′∥CC′，∴AA′與CC′所成角為0°
綜上所述AA′與BC，AA′與CC′所成角的大小分別為90°和0°．

點評：本題在長方體中求異面直線所成的角，著重考查了長方體的性質、直角三角形中三角函數的定義和異面直線所成角的定義等知識，屬于基礎題．