Question

已知函數(shù)，點、在函數(shù)的圖象上，
點在函數(shù)的圖象上，設(shè)．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和為；
（3）已知，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小．

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）當(dāng)時,；
當(dāng)時，;
當(dāng)時，.

解析試題分析：（1）把點點、代入中，點代入函數(shù)中，可得，然后利用疊加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂項法求數(shù)列的前項和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出
，即，所以最后分類討論比較與的大小即可.
試題解析：（1）由題有： 
3分
（2），

                                                 8分
（3），，
由知
， 而，所以可得．
于是
．
當(dāng)時 ；
當(dāng)時，
當(dāng)時，
下面證明：當(dāng)時，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當(dāng)時，
 
∴當(dāng)時，   13分
證法二：（數(shù)學(xué)歸納法）證明略
證法三：（函數(shù)法）∵時，
構(gòu)造函數(shù)，
∴當(dāng)時，
∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∴當(dāng)時，
∴