Question

【題目】在矩形中，，，、、、分別為矩形四條邊的中點，以，所在直線分別為，軸建立直角坐標系（如圖所示）.若、分別在線段、上.且.

（Ⅰ）求證：直線與的交點總在橢圓：上；

（Ⅱ）若、為曲線上兩點，且直線與直線的斜率之積為，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；

【解析】

（Ⅰ）根據比值關系寫出、，再聯合、寫出直線、，再求出交點坐標，即可得證。

（Ⅱ）設出直線，聯立方程，再利用斜率之積為，求出，即可得出定點.

解（Ⅰ）∵，∴，

又則直線的方程為 ①

又則直線的方程為 ②

聯立①②: 解得，

，∴直線與的交點在橢圓：上；

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，設：

則，∴，不合題意，

②當直線的斜率存在時，設：，，.

聯立方程得

則，，，

又

即，

將，代入上式得，

∴直線過定點.