【題目】已知正四棱錐
的底面邊長為
高為
其內切球與面
切于點
，球面上與
距離最近的點記為
，若平面
過點，且與
平行，則平面截該正四棱錐所得截面的面積為______.
【答案】
【解析】
取
中點
，連
，取
中點
，連
，則
平面
，根據已知可得
為正三角形，正棱錐
內切球的球心為正的內心
，與面
切于點
為
中點，球面上與
距離最近的點為
與球面的交點，即在之間且
長為內切球的半徑，連
并延長交
于
，平面
過
與
平行，可得平面分別與平面、平面
的交線為過
與平行的直線，即可得到截面為梯形，根據長度關系，即可求解.
取中點，連，取中點，連，
則
，為正方形的中心，四棱錐是正四棱錐，
所以平面，
，
在
中，
，
同理
，所以為正三角形，
所以正四棱錐內切球的球心為正的內心，
內切球的半徑是正的內切圓半徑為
，
內切球與平面的切點為正內切圓與直線的切點，
所以為中點，球面上與距離最近的點為連與球面的交點，
即在之間，且
，因此
為中點，
連并延長交于，平面過
與直線平行，
設平面分別與平面、平面交于
，
因為
平面，所以
，又因為
，
，
所以
，同理可證
，所以
，連
，
則梯形
為所求的截面，因為
，
，所以
平面
平面
，
所以
，所以
，
連
，則為
的角平分線，所以
，
又因為分別為
的中點，所以
，
所以
，而
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以截面梯形的面積
.
故答案為：.
新活力總動員暑系列答案
龍人圖書快樂假期暑假作業鄭州大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形
中，
，以
為折痕把
折起，使點
到達點
的位置，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
為
的中點，二面角
等于60°，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學中有許多形狀優美寓意美好的曲線，曲線
就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：
①曲線
恰好經過6個整點（即橫縱坐標均為整數的點）；
②曲線上存在到原點的距離超過
的點；
③曲線所圍成的“心形”區域的面積小于3．
其中，所有錯誤結論的序號是______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的右焦點為F到直線
的距離為
，拋物線
的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且
．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程;
（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數
，使
為常數，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）設直線與
軸的交點為
，經過點的動直線
與曲線交于
，
兩點，證明：
為定值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設以
的邊
為長軸且過點
的橢圓
的方程為
橢圓的離心率
，面積的最大值為
，
和
所在的直線分別與直線
相交于點
，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設與
的外接圓的面積分別為
，
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在點
處的切線方程為
．
（1）求
，
；
（2）函數
圖像與
軸負半軸的交點為
，且在點處的切線方程為
，函數
，
，求
的最小值；
（3）關于的方程
有兩個實數根
，
，且
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動點
在橢圓
上，過點作
軸的垂線，垂足為
，點
滿足
，已知點的軌跡是過點
的圓．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
與橢圓交于
，
兩點（，在軸的同側），
，
為橢圓的左、右焦點，若
，求四邊形
面積的最大值．
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