Question

數列{an}滿足：a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-1

an=6-

2n+3

2n-1

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足：c_n=a_n+2，又{b_n}是首項為6，公差為1的等差數列，且對任意正整數n，不等式

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0恒成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0等價于a≤

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

，確定右邊的單調性，求最值，即可得到結論．

解答：解：（1）∵a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-1

an=6-

2n+3

2n-1

，
∴n≥2時，a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-2

an-1=6-

2n+1

2n-2

∴兩式相減可得

1

2n-1

an=

2n-1

2n-1

∴a_n=2n-1
n=1時，a₁=1，也滿足上式，
∴a_n=2n-1
（2）c_n=a_n+2=2n+1，
∵{b_n}是首項為6，公差為1的等差數列，
∴b_n=n+5，

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0等價于a≤

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

令f（n）=

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

，則f（n+1）=

4 3 • 6 5 •… 2n+4 2n+3

2n+5

∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+4

(2n+3)(2n+5)

=

4n2+16n+16 4n2+16n+15

＞1
∴f（n+1）＞f（n）
∴n=1時，f（n）最小，即

4 5

15

∴a≤

4 5

15

．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．