Question

（2013•廣州二模）已知函數f（x）=x²-2alnx （a∈且a≠0）．
（1）若f（x）在定義域上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調，其導函數大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，從而得出實數a的取值范圍．
（2）先求出導函數f'（x），然后討論a研究函數在[1，2]上的單調性，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．

解答：解：（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2-a)

x

，
若函數f（x）是定義域（0，+∞）上的單調函數，則只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
實數a的取值范圍（-∞，0）．
（2）f′（x）=

2(x2-a)

x

，
①當a≤0時，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函數遞增，
∴當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為1
②當a＞0時，f′（x）=

2(x2-a)

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
函數f（x）在區間（0，

a

）上為減函數，在區間（

a

，+∞）上為增函數．
（i）當

a

≤1時，即0＜a≤1時，函數在[1，2]上遞增，所以當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為1，
（ii）當1＜

a

≤2即1＜a＜4時，函數在[1，

a

]上遞減，在[

a

，2]上遞增；
所以當x=

a

時f（x）有最小值，并且最小值為 a-aln；
（iii）當

a

＞2即4＜a，函數在[1，2]上遞減，所以當x=2時f（x）有最小值，并且最小值為4-2aln2．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數求閉區間上函數的最值，屬于中檔題．