Question

【題目】已知函數f（x）=2cos22x﹣2，給出下列命題： ①β∈R，f（x+β）為奇函數；
②α∈（0， ），f（x）=f（x+2α）對x∈R恒成立；
③x1 ， x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，則|x1﹣x2|的最小值為 ；
④x1 ， x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，則x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命題有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；

對于①，∵f（x）=cos4x﹣1的圖象如圖所示：

函數f（x+β）的圖象是f（x）的圖象向左或向右平移|β|個單位，

它不會是奇函數的，故①錯誤；

對于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，

∴8α=2kπ，∴α= ，k∈Z；

又α∈（0， ），∴取α= 或 時，

∴f（x）=f（x+2α）對x∈R恒成立，②正確；

對于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2時，

|x1﹣x2|的最小值為 = = ，∴③正確；

對于④，當f（x1）=f（x2）=0時，

x1﹣x2=kT=k = （k∈Z），∴④錯誤；

綜上，真命題是②③．

故選：C．

化簡函數f（x），畫出f（x）的圖象，根據圖象平移判斷函數f（x+β）不是奇函數，判斷①錯誤；

根據f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0， ）的解，判斷②正確；

由|f（x1）﹣f（x2）|=2時，|x1﹣x2|的最小值為 = ，判斷③正確；

當f（x1）=f（x2）=0時，x1﹣x2=kT= ，判斷④錯誤．