Question

【題目】如圖甲，已知矩形中， 為上一點，且，垂足為，現將矩形沿對角線折起，得到如圖乙所示的三棱錐.

（Ⅰ）在圖乙中，若，求的長度；

（Ⅱ）當二面角等于時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，由線面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的長度；（Ⅱ）以為坐標原點， 為軸， 為軸，垂直于平面的方向為軸建系，可得平面ADC的法向量為，由當二面角等于，求出點B,C，H三點的坐標，假設平面的法向量，由 ,求出 ，根據兩向量的夾角公式，求出二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）由，可得折疊后平面，

所以，又，所以平面，所以，

解得， ，由勾股定理，

.

（Ⅱ）如圖，以為坐標原點， 為軸， 為軸，垂直于平面的方向為軸建系，

可得平面的法向量為，

即有，再由二面角等于，

可得點坐標為，

所以，

設平面的法向量，

則 ，

所以，

由橫坐標大于橫坐標，

所以二面角為鈍角，所以余弦值為.