Question

【題目】已知函數

是否存在，使得，按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數；若不存在，請說明理由；

求實數與正整數，使得在內恰有個零點.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

（1）根據題意可得，所以可將問題轉化為判斷方程在區間內是否有解處理，設，判斷出函數的單調性，再根據零點存在性定理求解．（2）結合題意可將問題轉化為研究當時，方程的解的情況．然后利用導數和函數的周期性進行分析、求解后可得結論．

（1）∵，

∴，

所以．

所以問題轉化為方程在區間內是否有解．

設，

則，

因為，

所以 在區間上單調遞增，

又，

所以在區間內存在唯一零點，

即存在唯一的 滿足題意．

（2）由題意得．

令，

當，即時，，從而不是方程的解．

所以方程等價于關于的方程，

下面研究當時，方程的解的情況．

令，，

則問題等價于直線與曲線的交點情況．

又，

令得或．

當變化時，的變化情況如下表：

				()
	+	0	-	-	0	+
		1			-1

當且趨近于0時，趨向于，

當且趨近于時，趨向于，

當且趨近于時，趨向于，

當且趨近于時，趨向于，

故當時，直線與曲線在內無交點，在內有2個交點；

當時，直線與曲線在內有2個交點，在內無交點；

當時，直線與曲線在內有2個交點，在內有2個交點.

由的周期性可知當時，直線與在內總有偶數個交點，

從而不存在正整數，使與在內有2019個交點．

又當或時，直線與在內有三個交點，

由周期性知，

所以．