Question

（2011•江西模擬）如圖，已知A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個動點，F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，弦AB過點F₂，當AB⊥x軸時，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經過一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB⊥x軸時恰有|AF₁|=3|AF₂|．結合橢圓的定義，可得

|AF1|=3|AF2| |AF1|+|AF2|=2a |AF1|2-|AF2|2=4c2

，進而求出橢圓的離心率；
（2）由（1）可設橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準線方程為x=2b，分AB⊥x軸時和AB斜率存在時兩種情況分別判斷F₂與MN為直徑的圓D的關系，即可得到答案．

解答：解：（1）由條件可得

|AF1|=3|AF2| |AF1|+|AF2|=2a |AF1|2-|AF2|2=4c2

，
解得e=

2

2

…．（3分）
證明：（2）由（1）可設橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準線方程為x=2b，P(-

2

b，0)
①當AB⊥x軸時，易得A(b，

2

2

b)，B(b，-

2

2

b)，
由三點共線可得M（2b，b），N（2b，-b）
則圓D的方程為（x-2b）（x-2b）+（y-b）（y+b）=0，
即（x-2b）²+y²=b²
易得圓過定點F₂（b，0）…（6分）
②當AB斜率存在時，設其方程為y=kx-kb，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線方程代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²bx+（2k²-2）b²=0∴x1+x2=

4k2b

1+2k2

，x1x2=

(2k2-2)b2

1+2k2

y1y2=k2[x1x2-b(x1+x2)+b2]=…=-

k2b2

1+2k2

，
故直線AP的方程為y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，
令x=2b得M(2b，

(2+ 2 )by1

x1+ 2 b

)，同理可得N(2b，

(2+ 2 )by2

x2+ 2 b

)…（9分）
∴

F2M

•

F2N

=(b，

(2+ 2 )by1

x1+ 2 b

)•(b，

(2+ 2 )by2

x2+ 2 b

)=b2+

(2+ 2 )2b2y1y2

(x1+ 2 b)(x2+ 2 b)

=…=b2+

(6+4 2 )b2•(- k2b2 1+2k2 )

(2k2-2)b2+4 2 k2b2+2b2 1+2k2 +2b2

=…=b2-b2=0
所以F₂在以MN為直徑的圓D上，
綜上，以MN為直徑的圓D一定經過定點F₂（b，0）…．（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，橢圓的性質，圓的標準方程，綜合性強，難度較大．