Question

一個正三角形的三個頂點都在雙曲線x²-ay²=1的右支上，其中一個頂點與雙曲線右頂點重合，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據雙曲線方程求得A點坐標，設處B和c的坐標，進而分別表示出AB和BC，令二者相等得到關于c與a的方程，判斷出判別式大于或等于0，求得a的范圍，最后根據a＞0，進而求得答案．

解答：解：依題意可知A（1，0）
又因為三角形ABC是正三角形，所以AB=BC
假設B（c，

1-c2

a

），C（c，-

1-c2

a

）
AB=

1-c2 2

+(c-1) 2，BC=2×

1-c2

a

得到關于c與a的方程，（1+

3

a

）c²-2c+1-

3

a

=0．
因為正三角形ABC存在，所以方程有解．
△=4-4（1+

3

a

）（1-

3

a

）≥0恒成立
又因為B，C兩點在雙曲線的右支，
所以

2

1+3a

＞0，

1- 3 a

1+ 3 a

＞0．
得到a＞3或a＜-3
∵a＞0
綜上，a＞3．
故答案為a＞3

點評：本題主要考查了雙曲線的應用．涉及了不等式，函數等問題．綜合性強．