Question

已知等邊三角形OAB的邊長為8

3

（點O為坐標原點），且三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上．
（I）求拋物線E的方程以及焦點的坐標；
（II）若直線l₁與拋物線E相切于點A（x_A＜0），直線l₂與拋物線E相切于點B（x_B＞0），試求直線l₁，l₂的方程以及這兩條直線的交點坐標．

Answer 1

（I）∵等邊三角形OAB的邊長為8

3

（點O為坐標原點），
且三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上，
∴|OA|=8

3

，BC邊和y軸的夾角為30°，
設B（x，y），則x=|OB|sin30°=4

3

，y=|OB|cos30°=12，
∵B（4

3

，12）在x²=2py上，∴(4

3

)2=2p×12，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．
（II）由（I）知A（-4

3

，12），B（4

3

，12），且y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x，
∴k_A=

1

2

×(-4

3

)=-2

3

，
∴直線l₁的方程為y-12=-2

3

（x+4

3

），即2

3

x+y+12=0．
kB=

1

2

×4

3

=2

3

，
∴直線l₂的方程為y-12=2

3

（x-4

3

），即2

3

x-y-12=0．
解方程組

2 3 x+y+12=0 2 3 x-y-12=0

，得x=0，y=-12．
∴直線l₁，l₂的交點坐標為（0，-12）．