Question

下表給出一個“等差數陣”：

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數．

(1)寫出a₄₅的值；

(2)寫出a_ij的計算公式；

(3)證明：正整數N在該等差數列陣中的充要條件是2N＋1可以分解成兩個不是1的正整數之積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)a45＝49． 　　(2)該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列，a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首項為7，公差為5的等差數列，a2j＝7＋5(j－1)；…；第i行是首項為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數列，因此aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j． 　　(3)必要性；若N在該等差數陣中，則存在正整數i，j使得N＝i(2j＋1)＋j，從而2N＋1＝2i(2j＋1)＋2j＋1＝(2i＋1)·(2j＋1)，即正整數2N＋1可以分解成兩個不是1的正整數之積． 　　充分性：若2N＋1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N＋1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得2N＋1＝(2k＋1)(2l＋1)，從而N＝k(2l＋1)＋l＝akl，可見N在該等差數陣中，綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N＋1可以分解成兩個不是1的正整數之積．