Question

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

Answer 1

證明:如圖,以頂點A為坐標原點,以AB所在直線為x軸建立直角坐標系,則A(0,0).

設B(a,0),D(b,c),由平行四邊形的性質得點C的坐標為(a+b,c),
因為|AB|²=a²,|CD|²=a²,|AD|²=b²+c²,|BC|²=b²+c²,|AC|²=(a+b)²+c²,|BD|²=(b-a)²+c²,
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2(a²+b²+c²),
|AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²).
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|².
因此,平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

兩條相交直線的夾角、點到直線的距離公式