Question

（本小題16分）

已知定義在上的函數和數列滿足下列條件：，，當時，，且存在非零常數使恒成立．

（1）若數列是等差數列，求的值；

（2）求證：數列為等比數列的充要條件是．

（3）已知，，且（），數列的前項是，對于給定常數，若的值是一個與無關的量，求的值．

Answer 1

解:（1）由已知，，得

 

由數列是等差數列，得

所以，，，得．       ………4分

（2）充分性證明：若，則由已知，

得，

所以，是等比數列．                               ………6分

必要性證明：若是等比數列，設公比為，則有，

由及得

又，

所以數列是以為首項，公比為的等比數列，

所以，

當時，   ………8分

①若，，（）

對也成立．

數列是公差為的等差數列，不可能是等比數列，所以，

②，，（）

對也成立．

所以，

由數列是等比數列知，，即，

即對任意非零實數都成立．

綜上可得：數列為等比數列的充要條件是．………10分

（3）由（Ⅱ）知，數列是首項為，公比為的等比數列，即，

是一個常數，

故數列是等差數列，設公差為，

依題意，

，

當且僅當或時，是一個與無關的常數，

不成立，

所以，即，

．                                                   ………16分