Question

已知函數y=

x

x-1

，給出下列命題：
（1）函數圖象關于點（1，1）對稱；
（2）函數圖象關于直線y=2-x對稱；
（3）函數在定義域內單調遞減；
（4）將函數圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后與y=

1

x

的圖象重合．
其中正確的命題是

（1）（2）（4）

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：將y=

x

x-1

化為y=1+

1

x-1

，可判斷（4）；再化為y-1=

1

x-1

可判斷（1），（3）；求出y=

x

x-1

關于直線y=2-x對稱的函數表達式可判斷（2）．

解答：解：∵y=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，∴y-1=

1

x-1

，顯然其圖象關于點（1，1）對稱；（1）正確，（3）錯誤；
∵y=2-x，∴x=2-y，∴y=

x

x-1

關于直線y=2-x對稱的函數表達式為：2-x=

2-y

2-y-1

，整理得y=

x

x-1

，即函數y=

x

x-1

圖象關于直線y=2-x對稱；（2）正確；
∵y=

x

x-1

=1+

1

x-1

，將函數圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后可得y=

1

x

，（4）正確；
故答案為：（1），（2），（4）．

點評：本題考查函數的平移，對稱及單調性，重點考查學生分析與轉化的數學能力，屬于中檔題．