Question

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為的中點，.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線線平行、面面垂直、線面垂直和二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.方法一：第一問，由于四邊形為正方形，所以是中點，在中，利用中位線得，利用面面垂直的判定得平面平面，在中，由已知得為等腰三角形，而是的中點，所以得，所以得平面，而，所以平面，所以垂直面內的線，在中，利用勾股定理得，，所以利用線面垂直的判定得平面，所以垂直面內的線；第二問，由線面垂直平面，得面面垂直平面平面，由垂直兩個面的交線，所以平面，所以垂直面內的線，在等腰三角形中，是中點，所以，從而得平面，所以垂直面內的線，從而得是二面角的平面角，由已知中的邊的關系得出、的長度，從而得出的值，再利用平方關系得出角的余弦值；方法二：第一問，利用向量法，先建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標及向量的坐標，要證明，只需證明即可；第二問，利用向量法求出面的法向量，面的法向量，再利用夾角公式求余弦值.
試題解析：解法一：（Ⅰ）設，連接,
分別是、的中點，則，     1分
已知平面，平面，所以平面平面，
又，為的中點，則，
而平面