Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點，曲線C是坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，過點F₁的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同點P、Q，點P關于x軸的對稱點為M，設

F1P

=λ

F1Q

（I）若λ∈[2，4]，求直線L的斜率k的取值范圍；
（II）求證：直線MQ過定點．

Answer 1

分析：（I）求出曲線C的方程，把PQ的方程  x=my-1 （m＞0）代入曲線C的方程 化簡可得 y²-4my+4=0，利用根與系數的關系  及

F1P

=λ

F1Q

，可得  

(y1+y2)2

y1y2

=λ+

1

λ

+2=4m²，據λ∈[2，4]，求得直線L的斜率

1

m

 的范圍．
（II）根據KQF1-KPF1=0，可得 M、Q、F₂三點共線，故直線MQ過定點  F₂ （1，0 ）．

解答：解：（I）令P（x₁，y₁），，Q（x₂，y₂），由題意，可設拋物線方程為 y²=2px
由橢圓的方程可得F₁ （-1，0），F₂ （1，0 ）故p=2，曲線C的方程為  y²=4x，
由題意，可設PQ的方程  x=my-1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲線C的方程 化簡可得 y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．  又

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，
又 

(y1+y2)2

y1y2

=λ+

1

λ

+2=4m²．λ∈[2，4]，∴2+

1

2

≤λ+

1

λ

≤4+

1

4

，

9

8

≤m²≤

25

16

，
∴

4

5

≤

1

m

≤

2 2

3

∴直線L的斜率k的取值范圍為[

4

5

，

2 2

3

]．
（II）由于P，M關于X軸對稱，故M（x₁，-y₁），，
∵KQF2-KMF2=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

2ky1y2-2(y1+y2)

(x1-1)(x2-1)

=0，
∴M、Q、F₂三點共線，故直線MQ過定點  F₂ （1，0 ）．

點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程、簡單性質，三點共線的條件，根據題意，得到2+

1

2

≤λ+

1

λ

≤4+

1

4

，是解題的關鍵．