Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數的圖象在兩點處的切線分別為，若，且，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）減區間是，增區間是；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用分類探求；（2）借助題設運用恒成立建立不等式求解；（3）依據題設構建函數,運用導數知識求解.

試題解析：

函數，求導得，

（1）當時，，

①若，則恒成立，

所以在上單調遞減；

②若，則，令，解得或（舍去）

若，則，在上單調遞減；

若，則，在上單調遞增；

綜上，函數的單調減區間是，單調增區間是

（2）當時，，而，

所以當時，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以函數在上的最小值為，

所以恒成立，解得或（舍去）

又由，得，

所以實數的取值范圍是．

（3）由知，，而，則，

若，則，

所以，解得，不合題意

故，則，

整理得，，

由，得，令，則，

所以，設，則，

當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增；

所以函數的最小值為，

故實數的最小值為