Question

（2011•靜�？h一模）已知下列四個命題：
①i是虛數單位，則

2i3

1-i

=1-i；
②命題“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是“不存在x₀∈R，2x0＞0”；
③函數f（x）=e^x+x-2在區間（0，1）內有零點；
④函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象的一部分如圖所示，則ω、φ的值分別為2，-

π

3

．
其中是真命題的是（　　）

A．①②

B．②④

C．③④

D．①③

Answer 1

分析：①利用復數的四則運算進行化簡．②利用特稱命題的否定是全稱命題去判斷．③利用根的存在性定理，驗證f（0）f（1）＜0是否成立．④根據圖象求出對應的ω、φ．

解答：解：①

2i3

1-i

=

-2i

1-i

=

-2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=

-2i(1+i)

2

=1-i，所以①正確．
②特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是?x∈R，2^x＞0．所以②錯誤．
③因為函數f（x）=e^x+x-2在區間（0，1）上為增函數，且f（0）=2⁰+0-2=-10，
所以根據根的存在定理可知函數f（x）=e^x+x-2在區間（0，1）內有零點，所以③正確．
④由圖象可知

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，解得周期T=π，又T=π=

2π

ω

，所以解得ω=2，此時y=sin（2x+φ）．
由f(

7π

12

)=sin?(2×

7π

12

+?)=-1，解得sin?(

7π

6

+?)=-1，
即

7π

6

+?=

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得?=

π

3

+2kπ，k∈Z，
因為|?|＜

π

2

，所以解得?=

π

3

．所以④錯誤．
所以真命題為①③．
故選D．

點評：本題考查各種命題的真假判斷，熟練掌握各種命題的判斷方法是解決這類問題的關鍵．