Question

【題目】已知圓C與圓C1：5x2+5y2﹣mx﹣16y+32＝0外切于點P（），且與y軸相切．

（1）求圓C的方程

（2）過點O作直線l1，l2分別交圓C于A、B兩點，若l1，l2斜率之積為﹣2，求△ABC面積S的最大值

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1；（2）．

【解析】

（1）根據P（）在圓C1上，有，求得m＝22，得，C1P方程為4x﹣3y﹣4＝0，設C（x0，y0）（x0＞0），根據圓C與y軸相切和圓C與圓C1外切于P，建立方程組求解.

（2）根據題意設l1：y＝kx，l2：yx，由，消去y得（k2+1）x2+2x＝0，解得x＝0，，得到，同理可得，①當直線AB的斜率不存在時，易得；②當直線AB的斜率存在時，直線AB的方程為，化簡得，直線AB恒過，然后由求解.

（1）∵P（）在圓C1上，∴，

解得m＝22，

∴圓，得，

可得C1P方程為4x﹣3y﹣4＝0，

設C（x0，y0）（x0＞0），

∵圓C與y軸相切，∴r＝x0，

又圓C與圓C1外切于P，∴C在直線C1P上，且CP＝r，

則，解得或，

∵圓C與圓C1外切，∴C（1，0），

∴圓C的方程為（x﹣1）2+y2＝1；

（2）如圖所示：

設直線l1的斜率為k（不妨設k＞0），則直線l2的斜率為，

∴l1：y＝kx，l2：yx，

由，消去y得（k2+1）x2+2x＝0，

解得x＝0，，∴，

以代k同理可得，

①當直線AB的斜率不存在時，

由，得，弦AB的長度為，；

②當直線AB的斜率存在時，，

∴直線AB的方程為，化簡得，

∴直線AB恒過，

∴．

設，則，，

設，，

∴f（t）在上單調增，得，

∴．

綜上，△ABC面積S的最大值為．