Question

已知橢圓C：的離心率為，且經過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率和將點P坐標代入橢圓方程中，解得a²，b²，從而求出橢圓方程．
（2）第一步：根據橢圓方程先求出左焦點，再求出以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程及圓心和半徑，
    第二步：求出以PF為直徑的圓的方程及圓心和半徑，再根據圓心距與兩半徑的關系得到兩圓相切．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率為，且經過點．
即解得
∴橢圓C的方程為．
（2）∵a²=4，b²=3，∴．
∴橢圓C的左焦點坐標為（-1，0）．
以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，圓心坐標是（0，0，半徑為2
以PF為直徑的圓的方程為，圓心坐標為（0，），半徑為
∵，
故以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切．
點評：此題考查橢圓方程的求法，及兩圓之間位置關系的判定，尤其是兩圓位置關系的判定是解析幾何在高考中的熱點問題．