Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上有一點Q（4，m）到焦點F的距離為5，
（1）求p及m的值．
（2）過焦點F的直線L交拋物線于A，B兩點，若|AB|=8，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）上的點到焦點的距離公式d=x+

p

2

，可求得p，從而求得m的值；
（2）直線L斜率存在，可設為k，L的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0；設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系得x₁+x₂，x₁x₂；再由弦長公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=8，可求得k的值，從而求得直線L的方程．

解答：解：（1）由題意知|FQ|=4+

p

2

=5，∴p=2．∵m²=2×2×4，∴m=±4
（2）由題意知直線L的斜率存在，設為k，則直線L的方程為：y=k（x-1），代入拋物線方程：y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1；
又∵|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=8，|AB|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=8∴

1

k4

+

1

k2

-2=0∴k2=1∴k=±1；
∴所求直線方程為：x-y-1=0或x+y-1=0．

點評：本題考查了拋物線的幾何性質以及弦長公式的應用，也考查了一定的計算能力，解題時要靈活運用公式，正確解答．