Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為

2

-1．以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點）．當|AB|=

2 5

3

 時，求實數t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為

2

-1，可求a-c的值，利用直線與圓相切，可得b的值，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及|AB|=

2 5

3

，

OA

+

OB

=t

OP

，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意知a-c=

2

-1；                                …（2分）
又因為b=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．                       …（4分）
故橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1．                                  …（5分）
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．           …（7分）
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²＜

1

2

．                 …（9分）
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

．
又由|AB|=

2 5

3

，得

1+k2

|x₁-x₂|=

2 5

3

，即 

1+k2

×

( 8k2 1+2k2 )2-4× 8k2-2 1+2k2

=

2 5

3

 …（11分）
可得k2=

1

4

                                    …（12分）
又由

OA

+

OB

=t

OP

，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），則x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

-4k

t(1+2k2)

 …（13分）
故[

8k2

t(1+2k2)

]2+2×[

-4k

t(1+2k2)

]2=2，即16k²=t²（1+2k²）．   …（14分）
得，t²=

8

3

，即t=±

2 6

3

．                            …（15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．