Question

已知O為坐標原點,圓x²+y²+x-6y+C=0與直線x+2y-3=0的兩交點為P、Q,當C為何值時OP⊥OQ?

Answer 1

思路分析:設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂).由OP⊥OQx₁x₂+y₁y₂=0.

由方程組解得x₁、x₂、y₁、y₂.代入上式即可求C.

解法一:如圖.設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂).

∵OP⊥OQ,

∴k_OP·k_OQ=-1.

∴x₁x₂+y₂y₂=0.                                                                 ①

由方程組消去x得到5y²-20y+12+C=0,

∴y₁+y₂=4,y₁y₂=.

∴x₁x₂=(3-2y₁)(3-2y₂)=9-6(y₁+y₂)+4y₁y₂.

∴x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-6(y₁+y₂)+9=0,

即12+C-6×4+9=0,解得C=3.

解法二:∵OP⊥OQ,

∴O、P、Q三點共圓,PQ是直徑.

故以PQ為直徑的圓的圓心為(m,n),方程為(x-m)²+(y-n)²=m²+n².

PQ為兩圓的公共弦.兩圓相減得PQ方程為(1+2m)x+(-6+2n)y+C=0,它與直線x+2y-3=0是同一直線,

∴，m=-,n=-.

∵圓心(m,n)在直線x+2y-3=0上,

∴--3=0.

∴C=3.