Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）當b＞0時，求證：bb≥(

1

e

)

1

e

（其中e=2.718 28…是自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數求導，令導函數大于0得到遞增區間，令導函數小于0得到遞減區間，進一步求出最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當b＞0時，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，整理可得要證的結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，（x＞0），令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．…（2分）
∵e=2.718，28…＞1，∴y=lnx在（0，+∞）上是單調遞增函數．
∴x≥e-1=

1

e

．，∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f′(x)≤0可得x(0，

1

e

]．
∴f（x）單調遞增區間為[

1

e

，+∞)，單調遞減區間為(0，

1

e

]．…（6分）
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

．…（8分）
（Ⅱ）由（I）可知當b＞0時，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，
∴blnb≥-

1

e

…（10分）
即ln(bb)≥-

1

e

=ln(

1

e

)

1

c

．∴bb≥(

1

e

)

1

c

．…（12分）

點評：本題考查了導數的應用：利用導數判斷函數的單調性及求單調區間；函數在區間上的最值的求解，其一般步驟是：先求極值，比較函數在區間內所有極值與端點函數．若函數在區間上有唯一的極大（小）值，則該極值就是相應的最大（小）值．