Question

已知二次函數y＝-x²+2ax+(a-2)在x∈［-1，2］上有最大值4，求實數a的值.

Answer 1

思路解析：該二次函數的圖象開口向下，因而若x∈R，則y＝-(x-a)²+a²+a-2,即當x＝a時,y_max＝a²+a-2目前規定x∈［1,2］,解題時應分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三種情況討論（三種情況中最大值的取得均不同）.

解：y＝-x²+2ax+(a-2)＝-（x-a）²+a²+a-2,

①若a∈［-1,2］,則當x＝a時，y_max＝a²+a-2,由題意知a²+a-2=4,而a²+a-6＝0,a=-3或a＝2,

∵a∈［-1,2］,∴a＝2符合條件.

②若a＜-1，

∵二次函數y＝f(x)在［a,+∞)上單調遞減，即在［-1，2］上單調遞減，

∴當x＝-1時，y_max＝-1-2a+a-2＝-a-3,由-a-3＝4，得a＝-7(＜-1).

∴a＝-7符合條件.

③若a＞2,則二次函數y＝f(x)在［-1,2］上單調遞增，

∴當x＝2時，y_max＝-4+4a+a-2＝5a-6.由5a-6＝4,得a＝2(≯2).

∴此時不存在符合條件的a.

綜上，符合條件的a的值為2或-7.