【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以坐標原點
為極點、以
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，若直線與曲線交于
、
兩點.
（1）求線段
的中點
的直角坐標；
（2）設點
是曲線上任意一點，求
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）將曲線
的極坐標方程化為直角坐標方程，再將直線
的參數方程代入曲線的直角坐標方程，設
、
的參數分別為
、
，利用韋達定理求出線段
中點
對應的參數，代入直線的參數方程可求得點的直角坐標；
（2）利用弦長公式求得
，求出圓心到直線的距離，由此可求得圓上的點
到直線距離的最大值，利用三角形的面積公式可求得
面積的最大值.
（1）將曲線的極坐標方程可化為
，化為直角坐標方程得
，
將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程得：
，化簡得
，
設、的參數分別為、，由韋達定理得：
，于是
.
設
，則
，
故點的直角坐標為；
（2）由（1）知：，
，
所以，
，
又直線的普通方程為
，圓心
到直線的距離為
，圓的半徑
.
所以，點到直線的距離的最大值為
.
因此，面積的最大值為：
.
開心蛙口算題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國政府對PM2.5采用如下標準：
某市環保局從180天的市區PM2.5監測數據中，隨機抽取10天的數據作為樣本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）.
（1）求這10天數據的中位數.
（2）從這10天的數據中任取3天的數據，記
表示空氣質量達到一級的天數，求的分布列；
（3）以這10天的PM2.5日均值來估計這180天的空氣質量情況，記
為這180天空氣質量達到一級的天數，求的均值.
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【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點（點A在x軸上方），與y軸的正半軸相交于點N，點Q是拋物線不同于A，B的點，若2
，則|BF|：|BA|：|BN|＝_____．
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【題目】已知函數
，
.
（I）判斷曲線
在點
處的切線與曲線
的公共點個數；
（II）若函數
有且僅有一個零點，求
的值；
（III）若函數
有兩個極值點
，且
，求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
是
上一點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是
分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于
的直線
交
于異于
的兩點
．點
關于原點的對稱點為
．證明：直線
與
軸圍成的三角形是等腰三角形．
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【題目】為提高產品質量，某企業質量管理部門經常不定期地對產品進行抽查檢測，現對某條生產線上隨機抽取的100個產品進行相關數據的對比，并對每個產品進行綜合評分（滿分100分），將每個產品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.
（1）求圖中
的值，并求綜合評分的中位數；
（2）用樣本估計總體，視頻率作為概率，在該條生產線中隨機抽取3個產品，求所抽取的產品中一等品數的分布列和數學期望.
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