Question

（2012•安徽模擬）已知函數f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x（a∈R）．
（1）當0＜a＜1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）已知命題P：f（x）≥0對定義域內的任意x恒成立，若命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，確定函數f（x）的單調區間；
（2）利用分類討論，求出命題P成立的充要條件，再根據命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，求實數t的值．

解答：解：求導函數，f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

(x-1)(x-a)

x

（Ⅰ）當0＜a＜1時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，a），（1，+∞），單調遞減區間（a，1）…（6分）
（Ⅱ）由于f(1)=-

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2

-a，顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的，
當a≤0時，函數f（x）在區間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-

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2

-a，此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴實數a的取值范圍是(-∞，-

1

2

)．
∴P成立的充要條件為(-∞，-

1

2

)．
∵命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，
∴t=-

1

2

．…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查利用導數求函數的單調性，函數的最值，屬于中檔題．