Question

如果函數f（x）同時滿足下列條件：①在閉區間[a，b]內連續，②在開區間（a，b）內可導且其導函數為f′（x），那么在區間（a，b）內至少存在一點ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立，我們把這一規律稱為函數f（x）在區間（a，b）內具有“Lg”性質，并把其中的ξ稱為中值．有下列命題：
①若函數f（x）在（a，b）具有“Lg”性質，ξ為中值，點A（a，f（a）），B（b，f（b）），則直線AB的斜率為f′（ξ）；
②函數y=

2- x2 2

在（0，2）內具有“Lg”性質，且中值ξ=

2

，f′（ξ）=-

2

2

；
③函數f（x）=x³在（-1，2）內具有“Lg”性質，但中值ξ不唯一；
④若定義在[a，b]內的連續函數f（x）對任意的x₁、x₂∈[a，b]，x₁＜x₂，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（

x1+x2

2

）恒成立，則函數f（x）在（a，b）內具有“Lg”性質，且必有中值ξ=

x1+x2

2

．
其中你認為正確的所有命題序號是

 

．

Answer 1

分析：對每一個命題進行逐一判定是否滿足函數f（x）在區間（a，b）內具有“Lg”性質，對于①根據導函數的幾何意義進行判定，對于②，函數y在（0，2）上連續且可導，代值計算可得兩端點連線的斜率存在x=

2

時的導數值與之相等，對于③，舉反例進行判定即可，對于④，只能保證f（x）是上凸函數，不能保證中值一定在中點處進行判定．

解答：解：對于①，根據導函數的幾何意義立即可得正確；
對于②，函數y在（0，2）上連續且可導，代值計算可得兩端點連線的斜率為-

2

2

又y'=

1

2

(2-

x2

2

)-

1

2

(-x)，當x=

2

時，y'=-

2

2

，故②正確．
對于③，兩端點連線斜率為3
而f'（x）=3x²，令3x²=3，x=±1，在（-1，2）內只有一個中值ξ=1，故③錯誤；
對于④，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（

x1+x2

2

）只能保證f（x）是上凸函數，不能保證中值一定在中點處．④錯誤
故答案為：①②

點評：本題題意比較新穎，主要考查了導數的幾何意義，以及函數恒成立問題和直線的斜率，屬于中檔題．