Question

已知數(shù)列中，.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查數(shù)列的證明、錯(cuò)位相減法、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，將已知的遞推公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化出的形式來(lái)證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來(lái)證明；第二問(wèn)，將第一問(wèn)得到的結(jié)論代入，先得到表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和的值，再利用恒成立問(wèn)題求的值，在最后這一步，需要對(duì)n進(jìn)行討論，分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.
試題解析：（1）由知，，
又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，   
                6分
（2），   
， 
兩式相減得
，
                            9分
                      10分
若n為偶數(shù)，則              11分
若n為奇數(shù)，則        13分
                           14分