Question

已知函數（R），為其導函數，且時有極小值．
（1）求的單調遞減區間；
（2）若，，當時，對于任意x，和的值至少有一個是正數，求實數m的取值范圍；
（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值．

Answer 1

(1)；(2)；（3）6.

試題分析：（1）首先要求得的解析式，其中有兩個參數，已知條件告訴我們以及，由此我們把這兩個等式表示出來就可解得，然后解不等式即可得遞減區間；（2）由（1）可得，，由于，又，當時，，因此此時已符合題意，當時，也符合題意，而當時，，因此我們只要求此時，是二次函數，圖象是開口方向向上的拋物線，故可采用分類討論方法求得的范圍，使；（3）不等式為，即，設，由恒成立，只要的最小值大于0即可，下面就是求的最小值，同樣利用導函數可求得，于是只要，變形為，作為的函數，可證明它在上是減函數，又，故可得的最大值為6.
（1）由，因為函數在時有極小值，
所以，從而得，               2分
所求的，所以，
由解得，
所以的單調遞減區間為，                     4分
（2）由，故，
當m>0時，若x>0，則>0，滿足條件；                5分
若x=0，則>0，滿足條件；                      6分
若x<0，
①如果對稱軸≥0，即0＜m≤4時，的開口向上，
故在上單調遞減，又，所以當x<0時，>0         8分
②如果對稱軸＜0，即4＜m時，
解得2<m<8，故4＜m <8時，>0；
所以m的取值范圍為（0，8）；                       10分
（3）因為，所以等價于
，即，
記，則，
由，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，                   12分
對任意正實數恒成立，等價于，即，
記，則，
所以在上單調遞減，又，
所以的最大值為．                            16分