Question

若拋物線C：y²=x上一點P到A（3，-1）的距離與到焦點F的距離之和最小，則點P的坐標為

（1，-1）

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線定義將問題轉化為在拋物線上求一點P，使P點到A的距離與P點到拋物線的準線距離之和最小．因此過A點作準線的垂線，可得垂線與拋物線的交點即為所求點P，利用拋物線方程即可算出P的坐標．

解答：解：作出拋物線的準線l，設P在l上的射影點為Q，連結PQ，
根據(jù)拋物線的定義，得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，
運動點P，可得當A、P、Q三點共線時，|PA|+|PQ|=|AQ|達到最小值．
∴當|PA|+|PF|取最小值時，直線PA與準線l垂直，
可設P的坐標為（x₀，-1），代入拋物線方程得（-1）²=x₀，
此時的點P坐標為（1，-1），
即點P到A的距離與P到焦點F的距離之和最小時，點P的坐標為（1，-1）．
故答案為：（1，-1）

點評：本題給出拋物線張口以內的點A，求拋物線上動點P與A和拋物線的焦點的距離之和達最小值時點P的坐標．著重考查了拋物線定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．