Question

某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經初步估計得知，如果將樓房建為x（x≥12）層，則每平方米的平均建筑費用為Q（x）=3000+50x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費最小值是多少？
（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=

購地總費用

建筑總面積

）

Answer 1

分析：【方法一】：設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，由平均建筑費用Q（x）=3000+50x，平均購地費用=

購地總費用

建筑總面積

=

8000×104

4000x

；代入即得f（x），（其中x≥12，x∈N）； 因為f（x）=50x+

20000

x

+3000，可以應用基本不等式法，即a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求得f（x）的最小值及對應的x的值；
【方法二】：同方法一可得因為f（x）=50x+

20000

x

+3000，用求導法，對f（x）求導，令f^′（x）=0，從而得x及f（x）的最小值．

解答：解：設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，依題意得f(x)=Q(x)+

8000×10000

4000x

=50x+

20000

x

+3000（x≥12，x∈N）
【方法一】因為f(x)=50x+

20000

x

+3000≥2

50x• 20000 x

+3000=5000；
當且僅當50x=

20000

x

即x=20上式取”=”；
因此，當x=20時，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費最小值為5000元
【方法二】因為f(x)=50x+

20000

x

+3000，f′(x)=50-

20000

x2

；
令f^′（x）=0（其中x＞0），得x=20；當0＜x＜20時，f^′（x）＜0，f（x）是減函數；當x＞20時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；所以，當且僅當x=20時，f（x）有最小值，為f（20）=5000；即為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費最小值為5000元．

點評：本題考查了求函數最值模型的應用，求函數最值時，有兩種基本方法：（1）基本不等式法，（2）求導法．