Question

一個盒子內(nèi)裝有八張卡片，每張卡片上面分別寫著下列函數(shù)中的一個：f₁（x）=x，f₂（x）=2^x，f₃（x）=ln（|x|+3），f₄（x）=sinx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3，而且不同卡片上面寫著的函數(shù)互不相同，每張卡片被取出的概率相等．
（1）如果從盒子中一次隨機取出兩張卡片，并且將取出的兩張卡片上的函數(shù)相加得到一個新函數(shù)，求所得新函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機取出一張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的函數(shù)是偶函數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，利用列舉的方法分析清楚題意借助古典概型的概率計算公式即可求得；
（2）由題意分析出題設(shè)中的離散型隨機變量ξ可取1，2，3，4，利用古典概型的計算公式求出每一個值對應(yīng)下的事件的概率，再有分布列定義列出該隨機變量的分布列，并利用期望定義求得期望．

解答：解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，
∵在所給的八個函數(shù)中，奇函數(shù)有兩個：f₁（x）=x，f₄（x）=sinx；
偶函數(shù)有五個：f₃（x）=ln（|x|+3），f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3；
既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有一個：f₂（x）=2^x．
由題意知P(A)=

1

C 2 8

=

1

28

．
答：所得新函數(shù)是奇函數(shù)的概率等于

1

28

．
（2）ξ可取1，2，3，4，根據(jù)題意得P(ξ=1)=

C 1 5

C 1 8

=

5

8

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 5

C 1 7

=

15

56

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 5

C 1 6

=

5

56

，
P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 1

C 1 6

•

C 1 5

C 1 5

=

1

56

．
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	5 8	15 56	5 56	1 56

Eξ=1×

5

8

+2×

15

56

+3×

5

56

+4×

1

56

=

3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、排列組合、古典概型、隨機變量的分布列等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際應(yīng)用問題的能力．