Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，對(duì)于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知數(shù)列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an以及它的前n項(xiàng)和Sn；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

（Ⅰ）∵
∴。
∴
∴，∴。                                                             
即。
∴
。
∴，
∴又，∴。                                                                        
∴
。                                                          
（Ⅱ）∵，
∴

。                                                                                
（Ⅲ）
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴。                          
猜想：當(dāng)時(shí)，。                                                             
即。亦即。
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，前面已驗(yàn)證成立；                                          
假設(shè)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，

。
∴當(dāng)時(shí)，也成立。                    
由以上、可知，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，。