Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設

CF

CD

=λ，問：當λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為

π

6

．

Answer 1

分析：（1）根據在一個平面上有兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線平行，得到兩個平面平行，根據面面平行再推出線面平行．
（2）建立坐標系，求出平面DEF的一個法向量和平面CEF的一個法向量，代入向量夾角公式，根據二面角D-EF-C的大小為

π

6

，易構造一個關于λ的方程，解方程即可得到λ的值．

解答：證明：（I）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，…2分
∴面ABE∥面CDF…3分，
又DF?面CDF，
DF∥平面ABE；…4分
解：（II）過E作GE⊥CF交CF于G
∴EG∥BC∥AD且EG=BC=AD
∴EG=AD=

3

，又EF=2，
∴GF=1
∵四邊形ABCD為科技，
∴DC⊥BC
∵∠BCF=

π

2

，∴FC⊥BC
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC
∴FC⊥平面AC，
∴FC⊥D
以C為坐標原點，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，…6分
設CD=m，CF=λm
A(

3

，m，0)，E(

3

，0，λm-1)，F(0，0，λm)，D(0，m，0)，B（

3

，0，0），C（0，0，0）
∴

EF

=（-

3

，0，1），

DF

=（0，-m，λm）…7分
取平面CEF的一個法向量

n

=（0，1，0）…8分
取平面DEF的一個法向量

m

=（x，y，z），則

m • EF =0 m • DF =0

，即

- 3 x+z=0 -my+λmz=0

則

m

=（1，

3

λ，

3

）…10分
則cos

π

6

=

3 λ

4+3λ2

=

3

2

…12分
解得：λ=2
即當λ=2時，二面角D-EF-C的大小為

π

6

…13分

點評：本題考查用空間向量求兩個平面間的夾角，本題解題的關鍵是求出兩個平面的法向量，把解題的重點轉移到數字的運算．