Question

已知O、A、B、C是不共線的四點，若存在一組正實數λ₁﹑λ₂﹑λ₃，使λ₁+λ₂+λ₃=，則三個角∠AOB、∠BOC、∠COA

1. A.
   都是銳角
2. B.
   至多有兩個鈍角
3. C.
   恰有兩個鈍角
4. D.
   至少有兩個鈍角

Answer 1

D
分析：根據λ₁+λ₂+λ₃=，移向得λ₁+λ₂=-λ₃，兩邊同時點乘，得λ₁•+λ₂=-λ₃＜0，在根據正實數λ₁﹑λ₂﹑λ₃，和向量數量積的定義即可確定∠BOC、∠COA至少有一個為鈍角，同理可證明∠AOB、∠BOC至少有一個為鈍角，∠AOB、∠COA至少有一個為鈍角，從而得到結論．
解答：∵λ₁+λ₂+λ₃=，
∴λ₁+λ₂=-λ₃，兩邊同時點乘，得
λ₁•+λ₂=-λ₃，
即λ₁||•||cos∠COA+λ₂cos∠BOC=-λ₃＜0，，
∴∠BOC、∠COA至少有一個為鈍角，
同理∠AOB、∠BOC至少有一個為鈍角，∠AOB、∠COA至少有一個為鈍角，
因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有兩個鈍角．
故選D．
點評：此題是個中檔題．考查數量積表示兩個向量的夾角，以及數量積的定義式，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．