Question

若實數a，b滿足a²+b²=1且c＜a+b，恒成立，則c的取值范圍是

c＜-

2

．

Answer 1

分析：c＜a+b恒成立，只須c小于a+b的最小值即可．可利用基本不等式a²+b²≥2ab得到：2（a²+b²）≥2ab+a²+b²=（a+b）²，從而可求得a+b的取值范圍．

解答：解：∵a²+b²=1，
∴由基本不等式a²+b²≥2ab得：2（a²+b²）≥2ab+a²+b²=（a+b）²，
即（a+b）²≤2（a²+b²）=2，
∴-

2

≤a+b≤

2

，
若c＜a+b恒成立，則c＜（a+b）的最小值-

2

．即c＜-

2

．
故答案為：c＜-

2

．

點評：本題考查基本不等式，難點在于尋找已知條件a²+b²=1與所求a+b（的取值范圍）之間的聯系，即（a+b）²≤2（a²+b²），當然也可以利用圓的參數方程，借助三角函數的輔助角公式來解決，屬于中檔題．