Question

已知函數f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

處有極值（其中a，b都是正實數）．
（I）求a的值；
（II）對于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f(x)＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
（III）若函數f（x）在區間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

處有極值，可求a的值；
（II）由題意b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立，求出右邊的最大值，即可求b的取值范圍；
（III）求導函數，利用函數f（x）在區間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增，建立不等式，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1．
∵函數f（x）=asinx-x+b在x=

π

3

處有極值，∴f′(

π

3

)=0，解得a=2．…（3分）
（II）由題意b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立．
記g（x）=x+cosx-sinx，∴g′(x)=1-cosx-sinx=1-

2

sin(x+

π

4

)．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

．
∴g^′（x）≤0，∴g（x）在[0，

π

2

]上是減函數
∴g（x）_max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求導函數可得f′（x）=2cosx-1，
∵函數f（x）在區間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增，
∴(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈z．
即

6k≤m≤3k+1 m＞0

，
∴m∈（0，1]．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．