Question

已知函數.
（1）若曲線經過點，曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（2）在（1）的條件下，試求函數（為實常數，）的極大值與極小值之差；
（3）若在區間內存在兩個不同的極值點，求證：.

Answer 1

（1）
（2）當或時，；
當時，；
（3）.

試題分析：（1）利用導數的幾何意義，明確曲線在點處的切線的斜率為,建立方程
，再根據曲線經過點，得到方程，解方程組即得所求.
（2）利用“表解法”，確定函數的極值，注意討論或及，的不同情況；
（3）根據在區間內存在兩個極值點，得到，
即在內有兩個不等的實根．
利用二次函數的圖象和性質建立不等式組 求的范圍.
試題解析：（1），
直線的斜率為，曲線在點處的切線的斜率為,
 ①
曲線經過點， ②
由①②得：              3分
（2）由（1）知：，，, 由，或.
當，即或時，，，變化如下表

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

由表可知：
    5分
當即時，，，變化如下表

	-	0	+	0	-
		極小值		極大值

由表可知：
   7分
綜上可知：當或時，；
當時，       8分
（3）因為在區間內存在兩個極值點 ，所以，
即在內有兩個不等的實根．
∴            10分
由 （1）+（3）得：，           11分
由（4）得：，由（3）得：，
，∴．
故               13分