Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，且對任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）當時，，f（1）=1

（1）求f（0），f（3）的值；

（2）判斷f（x）的單調性并證明；

（3）若f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）令，求解，通過，求解即可得出結論；（2）在上是增函數，通過任取，且，則，且，證明，得到結果；（3）由對任意恒成立，得恒成立，利用函數的單調性，構造函數，轉化求解即可.

（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

由f（1）=1，得f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，

f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3．

（2）f（x）在R上是增函數，證明如下：

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，且f（x2-x1）＞0，

所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，

即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函數．

（3）由f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2對任意x∈R恒成立，

得f（4x-a+6+2x+1）＞f（2）恒成立．

因為f（x）在R上是增函數，所以4x-a+6+2x+1＞2恒成立，

即4x+22x+4＞a恒成立

令g（x）=4x+22x+4=（2x+1）2+3，

因為2x＞0，所以g（x）＞4

故a≤4