Question

設f（x）=

a•2x-1

2x+1

是R上的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）若g（x）與f（x）關于直線y=x對稱，求g（x）的解析式和定義域．
（3）求解關于x的不等式g（x）＞log₂（1+x）．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數在x=0處的函數值為0，列式并解之可得a值，再加以檢驗即可；
（2）由f（x）的表達式解出用y表示x的式子，從而得到f（x）的反函數為y=log₂

1+x

1-x

，再結合題意知g（x）就是函數f（x）的反函數，由此可得函數g（x）的表達式；
（3）根據對數的真數大于0，并結合對數函數的單調性建立關于x的不等式組，解之即得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數
∴f（0）=

a•20-1

20+1

=0，解之得a=1
檢驗：當a=1時，f（x）=

2x-1

2x+1

，
得f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x）成立，故a=1符合題意．
（2）令y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，可得2^x=

2

1-y

-1=

1+y

1-y

∴x=log₂

1+y

1-y

，可得f（x）=

2x-1

2x+1

的反函數為y=log₂

1+x

1-x

，
∵函數g（x）圖象與f（x）圖象關于直線y=x對稱，
∴函數y=g（x）是函數f（x）的反函數，故g（x）=log₂

1+x

1-x

．
（3）g（x）＞log₂（1+x），即

1+x 1-x ＞0 1+x＞0 1+x 1-x ＞1+x

，
解這個不等式組，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）

點評：本題給出含有指數式的分式函數，求函數的奇偶性并解相應的不等式，考查了基本初等的單調性、奇偶性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．